Привет, посетитель сайта ZametkiNaPolyah.ru! Продолжаем изучать основы работы компьютерных сетей и протокол сетевого уровня IP, а если быть более точным, то его версию IPv4. На первый взгляд тема двоичных чисел и двоичной системы счисления не имеет отношения к протоколу IP, но если вспомнить, что компьютеры работают с нулями и единицами, то оказывается, что двоичная система и ее понимание — это основа основ, нам нужно научиться переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот: из десятичной в двоичную. Это нам поможет лучше понять протокол IP, а также принцип работы масок сети переменной длины. Давайте приступать!

Если тема компьютерных сетей вам интересна, то можете ознакомиться с другими записями курса.

Оглавление первой части: «Основы взаимодействия в компьютерных сетях».

Оглавление четвертой части: «Сетевой уровень: протокол IP и его версия IPv4».

4.4.1 Введение

Прежде чем мы начнем, стоит вообще объяснить зачем нужна эта тема сетевому инженеру. Хотя вы могли убедиться в ее необходимости, когда мы говорили структуру IP-адреса, но, вы можете сказать, что есть IP-калькуляторы, которые существенно облегчают задачу по распределению IP-адресов, вычислению нужных масок подсетей/сетей и определению номера сети и номера узла в IP-адресе. Так-то оно так, но IP-калькулятор не всегда под рукой, это причина номер раз. Причина номер два заключается в том, что на экзаменах Cisco вам не дадут IP-калькулятор и все преобразования IP-адресов из десятичной системы счисления в двоичную вам придется делать на листе бумаги, а вопросов, где это требуется на экзамене/экзаменах по получению сертификата CCNA не так уж и мало, будет обидно, если из-за такой мелочи экзамен будет завален. Ну и наконец понимания двоичной системы счисления ведет к лучшему пониманию принципа работы компьютерных сетей.

Вообще сетевой инженер не обязан уметь делать перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот в уме. Более того, это редко кто умеет делать в уме, в основном к такой категории относятся преподаватели различных курсов по компьютерным сетям, так как они сталкиваются с этим постоянно изо дня в день. Но при помощи листа бумаги и ручки вам стоит научиться осуществлять перевод.

4.4.2 Десятичные цифры и числа, разряды в числах

Давайте начнем с простого и поговорим про двоичные цифры и числа, вы же знаете, что цифры и числа – это две разные вещи. Цифра – это специальный символ для обозначения, а число – это абстрактная запись, означающая количество. Например, чтобы записать, что у нас пять пальцев на руке мы можем использовать римские и арабский цифры: V и 5. В данном случае пять является одновременно и числом, и цифрой. А, например, для записи числа 20 мы используем две цифры: 2 и 0.

Итого, в десятичной системе счисления у нас есть десять цифр или десять символов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), комбинируя которые мы можем записывать различные числа. Каким принципом мы руководствуемся, используя десятичную систему счисления? Да все очень просто, мы возводим десятку в ту или иную степень, для примера возьмём число 321. Как его можно записать по-другому, да вот так: 3*102+2*101+1*100. Таким образом получается, что число 321 представляет собой три разряда:

  1. Цифра 3 означает старший разряд или в данном случае это разряд сотен, иначе их количество.
  2. Цифра 2 стоит в разряде десятков, у нас два десятка.
  3. Цифра один относится к младшему разряду.

То есть в данной записи двойка это не просто двойка, а две десятки или два раза по десять. А тройка это не просто тройка, а три раза по сто. Получается такая зависимость: единица каждого следующего разряда в десять раз больше единицы предыдущего, ведь, что такое 300 – это три раза по сто. Отступление по поводу десятичной системы счисление было нужно, чтобы проще понять двоичную.

4.4.3 Двоичные цифры и числа, а также их запись

В двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1. Поэтому запись числа в двоичной системе зачастую гораздо больше, чем в десятичной. За исключением чисел 0 и 1, ноль в двоичной системе счисления равен нулю в десятичной, аналогично и для единицы. Иногда, чтобы не перепутать в какой системе счисления записано число, используют суб-индексы: 26710, 1010012, 47128. Число в суб-индексе указывает на систему счисления.

Для записи двоичных чисел могут быть использованы символы 0b и &(амперсанд): 0b10111, &111. Если в десятичной системе счисления, чтобы произнести число 245 мы воспользуемся вот такой конструкцией: двести сорок пять, то в двоичной системе счисления чтобы назвать число, нам нужно произнести цифру из каждого разряда, например, число 1100 в двоичной системе счисления следует произносить не как тысяча сто, а как один, один, ноль, ноль. Давайте посмотрим на запись чисел от 0 до 10 в двоичной системе счисления:

Таблица 4.4.1 Числа двоичной и десятичной системы счисления

Таблица 4.4.1 Числа двоичной и десятичной системы счисления

Думаю, логика должна быть уже понятна. Если в десятичной системе счисления для каждого разряда у нас было доступно десять вариантов (от 0 до 9 включительно), то в двоичной системе счисления в каждом из разрядов двоичного числа у нас только два варианта: 0 или 1.

Для работы с IP-адресами и масками подсети нам достаточно натуральных чисел в двоичной системе счисления, хотя двоичная система позволяет записывать дробные и отрицательные числа, но нам это без надобности.

4.4.4 Преобразование чисел из десятичной системы счисления в двоичную

Давайте лучше разберемся с тем, как преобразовать число из десятичной системы счисления в двоичную. И тут все на самом деле очень и очень просто, хотя на словах объяснить трудно, поэтому сразу приведу пример преобразования чисел из десятичной системы счисления в двоичную. Возьмем число 61, чтобы выполнить преобразование в двоичную систему, нам нужно это число делить на два и смотреть, что получается в остатке от деления. А результат деления снова делить на два. В данном случае 61 – это делимое, в качестве делителя у нас всегда будет двойка, а частное (результат деления) мы делим снова на два, продолжаем деление до тех пор, пока в частном не окажется 1, эта последняя единица и будет крайним левым разрядом. Рисунок ниже это демонстрирует.

4.4.1 Деление в столбик для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную

4.4.1 Деление в столбик для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную

При этом обратите внимание, что число 61, это не 101111, а 111101, то есть выписываем результат с конца. Единицу в последнем частном смысла делить на два нет, поскольку в данном случае используется целочисленное деление, а при таком подходе получается так, как на Рисунке 4.4.2.

4.4.2 Целочисленное деление единицы на двойку

4.4.2 Целочисленное деление единицы на двойку

Это не самый быстрый способ перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную. У нас есть несколько ускорителей. Например, число 7 в двоичной системе записывается как 111, число 3 как 11, а число 255 как 11111111. Все эти случаи до безобразия просты. Дело в том, что числа 8, 4, и 256 являются степенями двойки, а числа 7, 3 и 255 на единицу меньше этих чисел. Так вот для числа, которые на единицу меньше, чем число равное степени двойки, действует простое правило: в двоичной системе такое десятичное число записывается количеством единиц равным степени двойки. Так, например, число 256 это два в восьмой степени, следовательно, 255 записывается как 11111111, а число 8 это два в третьей степени, а это говорит нам о том, что 7 в двоичной системе счисления будет записано как 111. Ну а понять, как записать 256, 4 и 8 в двоичной системе счисления тоже не трудно, достаточно просто прибавить единицу: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Любой свой результат вы можете проверить на калькуляторе и по началу лучше так и делать.

4.4.3 Проверяем результат перевода на калькуляторе

4.4.3 Проверяем результат перевода на калькуляторе

Как видим, делить мы еще не разучились. И теперь можем двигаться дальше.

4.4.5 Преобразование чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Преобразование чисел из двоичной системы счисления выполняется гораздо проще, чем перевод из десятичной в двоичную. В качестве примера перевода будем использовать число 11110. Обратите внимание на табличку ниже, она показывает степень, в которую нужно возвести двойку, чтобы потом в итоге получить десятичное число.

Таблица 4.4.2 Двоичное число и степень

Таблица 4.4.2 Двоичное число и степень

Чтобы из этого двоичной числа получить десятичное, нужно каждое число в разряде умножить на два в степени, а затем сложить результаты перемножения, проще показать:

1*24+1*23+1*22+1*21+0*20 = 16+8+4+2+0=30

Откроем калькулятор и убедимся, что 30 в десятичной системе счисления, это 11110 в двоичной.

4.4.4 Проверяем результат перевода из двоичной системы в десятичную на калькуляторе

4.4.4 Проверяем результат перевода из двоичной системы в десятичную на калькуляторе

Видим, что всё сделано верно. Из примера видно, что перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную выполняется куда проще, чем обратный перевод. Чтобы уверенно работать с протоколом IP нужно лишь помнить степени двойки до 28. Для наглядности приведу таблицу.

Таблица 4.4.3 Степень двойки

Таблица 4.4.3 Степень двойки

Нам больше и не нужно, поскольку максимально возможное число, которое можно записать в один байт (8 бит или восемь двоичных значений) равно 255, то есть в каждом октете IP-адреса или маски подсети протокола IPv4 максимально возможное значение — 255. В IP-пакете есть поля, в которых есть значения больше 255, но их нам рассчитывать не нужно.

4.4.6 Сложение, вычитание, умножение двоичных чисел и другие операции с двоичными числами

Давайте теперь посмотрим на операции, которые можно выполнять с двоичными числами. Начнем с простых арифметических операций, а затем перейдем к операциям булевой алгебры.

Сложение двоичных чисел

Складывать двоичные числа не так уж сложно: 1+0 =1; 1+1=0 (в дальнейшем дам пояснение); 0+0=0. Это были простые примеры, где использовался лишь один разряд, давайте посмотрим на примеры, где количество разрядов больше, чем один.
101+1101 в десятичной системе это будет 5 + 13 = 18. Давайте посчитаем в столбик.

Таблица 4.4.4 Сложение двоичных чисел в столбик

Таблица 4.4.4 Сложение двоичных чисел в столбик

Результат выделен оранжевым цветом, калькулятор говорит, что мы посчитали верно, можете проверить. Теперь давайте смотреть почему так получилось, ведь вначале я написал, что 1+1=0, но это для случая, когда у нас есть только один разряд, для случаев, когда разрядов больше, чем один, 1+1=10 (или два в десятичной), что логично.

Тогда смотрите, что получается, мы выполняем сложения по разрядам справа налево:

1. 1+1=10, записываем ноль, а единица уходит в следующий разряд.

2. В следующем разряде получается 0+0+1=1 (эта единица пришла к нам из результата сложения на шаге 1).

3. Дальше у нас выражение 1+1=10, поэтому в результат разряда мы пишем 0, а единица уходит в следующий.

4. Тут у нас есть единица только у второго числа, но сюда еще перенеслась, поэтому 0+1+1 = 10.

5. Склеиваем всё воедино:10|0|1|0.

Если лень в столбик, то давайте считать так: 101011+11011 или 43 + 27 = 70. Как тут можно поступить, а давайте смотреть, ведь нам никто не запрещает делать преобразования, а от перемены мест слагаемых сумма не меняется, для двоичной системы счисления это правило также актуально.

  1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
  2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
  3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
  4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
  5. 100000 + 100000 +110
  6. 1000000 + 110.
  7. 1000110.

Можете проверить калькулятором, 1000110 в двоичной системе счисления это 70 в десятичной.

Вычитание двоичных чисел

Сразу пример для вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления, про отрицательные числа мы не говорили, поэтому 0-1 не берем в расчет: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Если разрядов больше чем один, то тоже все просто, даже никаких столбиков и ухищрений не нужно: 110111 – 1000, это то же самое, что и 55 – 8. В результате мы получим 101111. И биться сердце перестало, откуда единица в третьем разряде (нумерация слева направо и начинается с нуля)? Да всё просто! Во втором разряде числа 110111 стоит 0, а в первом разряде стоит 1 (если примем, что нумерация разрядов начинается с 0 и идет слева направо), но единица четвертого разряда получается путем сложения двух единиц третьего разряда (получается этакая виртуальная двойка) и от этой двойки мы отнимаем единицу, которая стоит в нулевом разряде числа 1000, ну а 2 — 1 = 1, ну а 1 является допустимой цифрой в двоичной системе счисления.

Умножение двоичных чисел

Нам осталось рассмотреть умножение двоичных чисел, которое реализует за счет сдвига на один разряд влево. Но для начала давайте посмотрим на результаты одноразрядного умножения: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Собственно, всё просто, теперь давайте посмотрим на что-нибудь более сложное. Возьмем числа 101001 (41) и 1100 (12). Умножать будем столбиком.

Таблица 4.4.5 Умножение двоичных чисел в столбик

Таблица 4.4.5 Умножение двоичных чисел в столбик

Если из таблицы непонятно как так получилось, то попробую объяснить словами:

  1. Умножение двоичных чисел удобно делать в столбик, поэтому выписываем второй множитель под первым, если числа с разным количество разрядов, то будет удобнее, если большее число будет сверху.
  2. Следующим шагом умножаем все разряды первого числа на самый младший разряд второго числа. Записываем результат перемножения ниже при этом нужно записать так, чтобы под каждым соответствующим разрядом был записан результат перемножения.
  3. Теперь нам нужно перемножить все разряды первого числа на следующий разряд второго числа и результат записать еще одной строчкой ниже, но этот результат нужно сдвинуть на один разряд влево, если смотреть на таблицу, то это вторая последовательность нулей сверху.
  4. Точно также нужно сделать для последующих разрядов, каждый раз сдвигаясь на один разряд влево, а если смотреть на таблицу, то можно сказать, что на одну клетку влево.
  5. У нас получилось четыре двоичных числа, которые нужно теперь сложить и получить результат. Сложение мы недавно рассмотрели, проблем возникнуть не должно.

В общем-то, операция умножения не такая уж и сложная, нужно лишь немного попрактиковаться.

Операции булевой алгебры

В булевой алгебре есть два очень важных понятия: true (истина) и false (ложь), эквивалентом для них служат ноль и единица в двоичной системе счисления. Операторы булевой алгебры расширяют количество доступных операторов над этими значениями, давайте на них посмотрим.

Операция «Логическое И» или AND

Операция «Логическое И» или AND эквивалентно умножению одноразрядных двоичных чисел.

Единица в результате «Логического И» будет только в том случае, если оба значения равны единицы, во всех остальных случаях будет ноль.

Операция «Логическое ИЛИ» или OR

Операция «Логическое ИЛИ» или OR работает по следующему принципу: если хотя бы одно значение равно единице, то в результате будет единица.

Операция «Исключающее ИЛИ» или XOR

Операция «Исключающее ИЛИ» или XOR даст нам в результате единицу только в том случае, если один из операндов равен единице, а второй равен нулю. Если оба операнда равны нулю, будет ноль и даже если оба операнда равны единице, в результате получится ноль.

Операция «Логическое отрицание» или NOT

Операция «Логическое отрицание» или NOT является унарной, то есть применяется к одному операнду (до этого у нас были бинарные операторы, то есть чтобы они работали, значения должны быть и слева, и справа от оператора). Эта операция меняет значение операнда на противоположное.

Собственно, ничего сложного в булевых операциях нет.

4.4.7 Выводы

Для того чтобы быстроразделять сети над подсети, нам нужно уметь переводить IP-адреса и маски сети из десятичной системы счисления в двоичную, поэтому стоит уделить данной теме внимания по тем причинам, которые я указал в самом верху.

Возможно, эти записи вам покажутся интересными


Выберете удобный для себя способ, чтобы оставить комментарий

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Loading Disqus Comments ...